K právnickému povolání tíhla již od mládí. Narodila se 19. října 1929 do pražské právnické rodiny, právníkem byl její otec i pozdější tchán. V roce 1952 vystudovala Právnickou fakultu Univerzity Karlovy a začala působit jako advokátka. Právnička, jež advokacii pokládala za svou životní lásku, se věnovala převážně občanskému a pracovnímu právu.

Po roce 1969 obhajovala více než stovku lidí, kteří byli jako nepohodlní režimu vyhazováni z práce nebo jinak perzekvováni. Zastupovala takto spisovatele Milana Kunderu, publicistu a polistopadového kancléře prezidenta republiky Ivana Medka či matku Jana Palacha v beznadějném soudním sporu s komunistickým poslancem Vilémem Novým, jenž pronášel lživé teorie o motivech Palachova činu. V roce 2013 natočila režisérka Agnieszka Hollandová film Hořící keř, který je věnován památce Jana Palacha a ve kterém hlavní postavu Burešové ztvárnila Tatiana Pauhofová.

Do polistopadové politiky vkročila hned v prosinci 1989, kdy ji Občanské fórum (OF) vyslalo do čela resortu spravedlnosti v české vládě. Jako ministryně spravedlnosti se do června 1990 podílela na přeměně české justice, jež začínala reorganizací soudnictví, reformou vězeňství či přípravou nových zákonů.

V prvních svobodných volbách v červnu 1990 úspěšně kandidovala za OF do České národní rady (ČNR) a stala se její předsedkyní. V čele předchůdce nynější Poslanecké sněmovny působila do voleb v roce 1992. „V atmosféře tehdejší euforie a nadšení bylo všechno mnohem snazší než dnes,“ řekla před několika lety. „I dnes řada politiků dělá svou práci dobře, ale pokračující prorůstání ekonomiky do politiky ohrožuje naši demokracii,“ dodala.

Jako předsedkyně ČNR se v letech 1990 až 1992 také účastnila jednání o novém státoprávním uspořádání tehdejší federace. S rozpadem Československa a po volebním neúspěchu Občanského hnutí (jeden z nástupců OF), za něž v roce 1992 kandidovala, z vysoké politiky odešla a vrátila se k advokacii. Ve své advokátní praxi nejdříve zastupovala firmy, postupně se vracela ke své doméně – zastupování ve sporech o náhradu škod.

O nový vstup do politiky se pokusila v roce 1996, když v prvních senátních volbách kandidovala jako nezávislá za KDU-ČSL. Do Senátu se nedostala, politikem však podle svých slov zůstala po celý život. Po roce 1999 působila také jako předsedkyně správní rady Česko-německého fondu budoucnosti, ustaveného o dva roky dříve s cílem podporovat porozumění mezi Čechy a Němci. Jméno někdejší předsedkyně ČNR se objevovalo i v souvislosti s možnými prezidentskými kandidáty v roce 2003.

Prezident Václav Havel, se kterým Burešovou pojilo dlouholeté přátelství, jí udělil v roce 2002 za vynikající zásluhy o demokracii a lidská práva Řád Tomáše Garrigua Masaryka. V roce 2007 ji Česká advokátní komora uvedla za její celoživotní přínos spravedlnosti do právnické síně slávy. V následujícím roce svou advokátní praxi ze zdravotních důvodů ukončila.

Burešová je známa mimo jiné jako velká příznivkyně skautingu (dva roky byla starostkou Českého Junáka), ráda také lyžovala, hrála basketbal a volejbal a také bridž. V roce 1950 se provdala za dětského lékaře Radima Bureše, s nímž měla dcery Zuzanu a Lucii.

Na velkou dámu zavzpomínal předseda poslaneckého klubu TOP 09 Miroslav Kalousek. 

„Měl jsem tu čest znát jí osobně. V době, kdy v politice byly zásadní ideje a pevné postoje. Dagmar Burešová zosobňovala obojí. Vzdělaná právnička, politička, humanistka, statečná, krásná a kultivovaná dáma. Odpočívej v pokoji, Dášo,“ napsal politik.

Odchod Dagmar Burešové připomnělo také uskupení Milion chvilek pro demokracii. Členové skupiny připomněli slova Burešové o strachu a odvaze.

Na Dagmar Burešovou zavzpomínal také předseda Nejvyššího správního soudu Josef Baxa. Ocenil její mravní občanské postoje, na které nerezignovala ani v nelehkých komunistických dobách. „Odešla Dagmar Burešová. Jaro 1990 bylo období, kdy soudci mohli svou ministryni doslova milovat. Pro její osobnost, odbornost, noblesu. Statečná žena s čitelnou minulostí nelemovanou jen profesními úspěchy, ale zejména odvážnými občanskými mravními postoji," napsal.